$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．

自然数を$2$個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．たとえば，$42$は$3+4+\cdots +9$のように$2$個以上の連続する自然数の和で表せる．次の問いに答えよ．

(1)$2020$を$2$個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．
(2)$a$を$0$以上の整数とするとき，$2^a$は$2$個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．
(3)$a,\ b$を自然数とするとき，$2^a(2b+1)$は$2$個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．

連続関数$f(x)$は次の条件を満たす．
\[ f(x)=1+\int_0^x (x-t)f(t) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\phi(x)=f(x)+f^\prime(x)$とおくとき，$\displaystyle \frac{\phi^\prime(x)}{\phi(x)}$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．

$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]