下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

$5$個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(1)$5$個のさいころすべてに同じ目が出る確率を求めよ．
(2)$3$個のさいころに同じ目が出て，かつ残りの$2$個のさいころにも同じ目が出る確率を求めよ．ただし，$3$個のさいころに出た同じ目と$2$個のさいころに出た同じ目は異なるとする．
(3)出た目が連続した$5$つの数の組合せになる確率を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）

ボタンを押すと，$0$と$1$のどちらか一方の数字を表示する機械がある．ボタンを連続して押すとき，直前に表示された数字と同じ数字が再び表示される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，違う数字の表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である．ただし，始めにボタンを押すときには，$0$と$1$が表示される確率は等しい．

(1)$4$回連続してボタンを押すとき，$4$回とも同じ数字が表示される確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．また，$4$回目に表示された数字が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(2)$4$回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．また，合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)始めに表示された数字が$1$のとき，さらに$4$回連続してボタンを押して表示される$4$つの数字の合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}$である．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

$1$個のさいころを$3$回続けて投げるという試行に関して，次の確率を求めよ．

(1)$3$回連続で同じ目が出る確率．
(2)$3$回連続で偶数が出る確率．
(3)$3$回とも互いに異なる目が出る確率．
(4)$2$回続けて同じ目が出ない確率．
(5)出た目の合計が$16$以上になる確率．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を連続関数とするとき，
\[ \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x+8} \, dx \]
の値を求めよ．

ある奇数の自然数$m$から始まる連続する奇数個の自然数の和が$2010$である．$m$を求めよ．