連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2^x+3^y=43 \\
\log_2 x- \log_3 y=1
\end{array}
\right. \]
を考える．

(1)この連立方程式を満たす自然数$x,\ y$の組を求めよ．
(2)この連立方程式を満たす正の実数$x,\ y$は，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0,\ x \neq 1$とする．方程式$\log_2 x+2\log_x 2=3$を解け．
(2)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y=2 \\
xy=16
\end{array}
\right. \]
(3)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y<2 \\
xy<16
\end{array}
\right. \]

連立方程式$x+y=8,\ \cos \theta-x \sin \theta=x,\ \sin \theta+y \cos \theta=1$を満たす$y$の解は$2$つある．その$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$の値を求めよ．ただし，$x,\ y$は実数とする．

以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．

連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．

(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x \leqq [　]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．