次の問いに答えよ．

(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+2y=4 \\
x^2+xy+y^2=7
\end{array} \right. \]

現実の気体では圧力を$p>0$，体積を$v>0$，温度を$T>0$とし，$a,\ b,\ R$を正の定数として方程式
\[ \left( p+\frac{a}{v^2} \right) (v-b)=RT \cdots\cdots ① \]
に従う．

(1)$①$から$p$を$v$を用いて表すと$p=[$9$]$となる．
(2)ボイル・シャルルの法則に従えば，$pv=RT \cdots\cdots②$である．$a>bRT$のとき，$①$と$②$を$p$と$v$の連立方程式とみなすと$v=[$10$]$である．
(3)$T=T_c$（正定数）のとき$①$の$p$を$v$の関数とみなして$\displaystyle \frac{dp}{dv}$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}$を求める．
$①$と$\displaystyle \frac{dp}{dv}=0$，$\displaystyle \frac{d^2p}{dv^2}=0$を同時に満たす$T_c$，$v_c$，$p_c$を求めると，$T_c=[$11$]$，$v_c=[$12$]$，$p_c=[$13$]$である．

以下の問いに答えなさい．

(1)下図のような口の半径が$10 \, \mathrm{cm}$，高さが$30 \, \mathrm{cm}$の口の開いた逆円すい形の容器を，口が水平になるように置き，水を入れた．水面の面積が$36 \pi \, \mathrm{cm}^2$であるとき，水の体積は$[$1$][$2$][$3$] \pi \, \mathrm{cm}^3$であり，容器の内面で水に接していない部分の面積は，水に接している部分の面積の$\displaystyle \frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$倍である．
（図は省略）
(2)次の数列を考える．
\[ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \cdots \]
この数列の第$670$項は$\displaystyle \frac{1}{[$7$][$8$][$9$]}$，初項から第$2182$項までの和は
\[ \frac{\kakkofour{$10$}{$11$}{$12$}{$13$}}{[$14$][$15$][$16$]} \]
である．
(3)次の連立方程式を満たす実数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-9x^2+4x+3y^2=0 \\
3xy-5y=0
\end{array} \right. \]

次の問いに答えよ．

(1)次の$x$と$y$に関する連立方程式を解け．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
ax+y=1 \\
x+by=1
\end{array} \right. \]
(2)$\displaystyle \cos x \geqq 1-\frac{x^2}{2} \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を証明せよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int e^{ax} \sin bx \, dx$を求めよ．ただし，$a$と$b$は実数の定数とする．

次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2y=8 \\
y^2-2x=8
\end{array} \right. \]

以下の問に答えよ．

(1)方程式$\displaystyle \log_2 (x+2)-\log_4 x=\frac{3}{2}$の解は，$x=[テ]$である．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_7 (x+y)^x=4(x-y) \\
\log_7 (x+y)^y=3(x-y)
\end{array} \right. \]
の解は，$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]},\ y=\frac{[ニ]}{[ヌ]}$または，$x=[ネ],\ y=[ノ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)連立方程式

\begin{spacing}{1.8}
$\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{13}{6}=0 \\
\displaystyle \frac{1}{6}xy+x+y=0
\end{array} \right.$
\end{spacing}
の解は，$([ア],\ -[イ])$あるいは$(-[ウ],\ [エ])$である．
(2)$a,\ b$を$0$以外の実数とする．$x$の方程式$x^3+(a-2b)x^2+(b-2ab)x-2b^2=0$の解の$1$つは$2b$である．この方程式が重解をもつとき，$\displaystyle b=\frac{a^2}{[オ]}$あるいは$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}a-\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)連立方程式

$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$

を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．

次の問に答えよ．

(1)連立方程式$2x+y-3=0$，$ax-y+2a-7=0$が$x>0$，$y>0$となる解をもつとき，$a$がとりえる値の範囲は$[　]<a<[　]$である．
(2)$x$の$2$次方程式$(k^2-1)x^2-x+1=0$が正の$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$k \alpha\beta=2 \alpha-\beta$を満たすとき，$\displaystyle k=\frac{[][]}{[][]}$，$\displaystyle \alpha=\frac{[][]}{[　]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[][]}{[　]}$である．

$0 \leqq x<2\pi$，$0 \leqq y<2\pi$とする．

(1)方程式$\sin 2x+\sin x=0$の解は，
\[ x=0,\quad \frac{[ア]}{[イ]} \pi,\quad \pi,\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \pi \]
である．ただし$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}<\frac{[ウ]}{[エ]}$とする．

(2)連立方程式$\sin x+\sin y=1$，$\cos x-\cos y=\sqrt{3}$の解は
\[ x=\frac{[オ]}{[カ]} \pi,\quad y=\frac{[キ]}{[ク]} \pi \]
である．