以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする．$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい．その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ．
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく．このとき，行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を，（簡潔な形で）求めよ．

$n$を自然数とする．$\alpha$を実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha+1 & 1 \\
-1 & \alpha-1
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(A-\alpha E)^2=O$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次単位行列，$O$は$2$次零行列とする．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)連立$1$次方程式$A^n \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の解$x,\ y$をすべて求めよ．

$a,\ b$を実数とし，行列$A$を$2$次の正方行列とする．$x,\ y$についての連立$1$次方程式を，行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \cdots\cdots (*) \]
と表す．次に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
6 & 4
\end{array} \right)$のとき，連立$1$次方程式$(*)$を解け．
(2)$c$を実数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$とする．

(i) $a \neq bc$とする．連立$1$次方程式$(*)$がただ$1$つの解をもつことを示せ．また，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ．
(ii) 連立$1$次方程式$(*)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$も解をもたないことを示せ．

(iii) 連立$1$次方程式$(*)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数$m$に対して，連立$1$次方程式
\[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
も解を無数にもつことを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 4 \\
1 & 6
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x+4y=kx \\
x+6y=ky
\end{array} \right.$が$x=y=0$以外の解をもつような実数$k$の値を$2$つ求めよ．
(2)(1)で求めた$k$の値を$a,\ b \ (a<b)$とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right)$とする．実数$s,\ t$に対し，行列$P=\left( \begin{array}{cc}
s & t \\
1 & 1
\end{array} \right)$が$AP=PB$を満たすとき，実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)(2)で定めた行列$B$について，$B^n$（ただし，$n$は自然数）を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(4)$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

次の空欄$[ナ]$から$[ヘ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．

確率分布表 \quad
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目 & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
確率 & $\displaystyle\frac{1}{9}$ & $\displaystyle\frac{4}{45}$ & $p$ & $q$ & $\displaystyle\frac{1}{35}$ & $r$ \\ \hline
\end{tabular}

また，このサイコロを$6$回投げたとき，次のような$2$つのデータ$(ⅰ)$，$(ⅱ)$が残った．
データ$(ⅰ) \cdots 4$回目に投げたとき$2$度目の$3$の目になる確率が$\displaystyle \frac{4}{27}$であった．
データ$(ⅱ) \cdots$出る目の期待値が$\displaystyle \frac{1153}{315}$であった．
このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{1}{35}<\frac{4}{45}<\frac{1}{9}<q<r<p<\frac{2}{3}$とする．
まず，確率分布表から，$p+q+r=[ナ] \cdots\cdots ①$である．
次に，データ$(ⅰ)$は$3$の目が$3$回目までに既に$1$回だけ出ていることを示すから，
\[ [ニ]=\frac{4}{27} \]
となる．
これより，次の$2$次方程式が得られる．
\[ [ヌ]=0 \]
条件より，$\displaystyle p<\frac{2}{3}$だから，$p=[ネ]$である．すると$①$から，
\[ q+r=[ノ] \cdots\cdots② \]
となる．
データ$(ⅱ)$から，期待値の式を$p,\ q,\ r$を用いて表せば，
\[ [ハ]=\frac{1153}{315} \]
である．
ゆえに，$p=[ネ]$を適用して，
\[ 2q+3r=[ヒ] \cdots\cdots③ \]
となる．$②$と$③$を連立して，$q=[フ]$，$r=[ヘ]$を得る．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．連立1次方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2x+(a-1)y=b \\
ax+a^2y=1
\end{array}
\right. \cdots\cdots (*) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$(*)$が2組以上の解をもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$(*)$が$x=1,\ y=2$をただ1組の解としてもつような$a$と$b$の値を求めよ．
(3)$(*)$が$x=y$となる解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

$x$と$y$についての連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
3^{x+2y}+2^{4x+2y-3}=\displaystyle \frac{97}{3} \\ \\
3^{x+2y+2}-4^{2x+y-2}=-13
\end{array} \right. \qquad \cdots\cdots(*) \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$X=3^{x+2y},\ Y=2^{4x+2y}$とおいて，連立方程式$(*)$を$X,\ Y$についての連立$1$次方程式に書きかえて，それを解いて$X$と$Y$の値を求めよ．
(2)連立方程式$(*)$を解け．

次の問いに答えよ．

(1)連立$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
5x-y=kx \\
6x-2y=ky
\end{array} \right. \]
が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつような$k$を$k_1,\ k_2$（ただし$k_1<k_2$）とおくと，$k_1=[$7$]$，$k_2=[$8$]$である．
(2)$(1)$で求めた$k_1$に対して$(x,\ y)=(1,\ a)$，$k_2$に対して$(x,\ y)=(b,\ 1)$が各々上の連立$1$次方程式を満たすとき，行列$A$と$P$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
5 & -1 \\
6 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
a & 1
\end{array} \right) \]
とおくと$P^{-1}AP=[$9$]$となる．これより自然数$n$に対して$A^n=[$10$]$である．
(3)自然数$n$に対して漸化式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=5a_n-b_n \\
b_{n+1}=6a_n-2b_n
\end{array} \right. ,\quad a_1=1,\ b_1=2 \]
を満たす数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めると，$a_n=[$11$]$，$b_n=[$12$]$である．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．