「連勝」について
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国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
私立 龍谷大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．