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東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(3)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う.第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.第$2$試合以降は,直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す.最初に$2$連勝したチームを優勝とする.いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり,各試合に引き分けはないものとする.このとき,

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり,第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である.
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が優勝する確率は,それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$,$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である.

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち,かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと,$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である.ただし,$n$は自然数とする.
龍谷大学 私立 龍谷大学 2016年 第3問
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う.$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり,そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを,$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている.

$2$人が,それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び,同時に出す.このとき大きい数を出した方を勝ちとする.
この勝負を,$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う.

(1)$1$回目の勝負で,$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい.
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい.
同志社大学 私立 同志社大学 2013年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

サッカーの国際大会に日本,$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し,優勝国は次のように決定される.
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする.勝った国が残りの$1$つの国と試合をし, $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す.この連勝国を優勝国とし,大会を終了する.
(ii) 各試合において,引き分けは無く,必ず勝敗が決まる.
日本が$\mathrm{A}$国,$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし,$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする.第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する.
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である.ゆえに第$3n+2$戦($n$は$0$以上の整数)で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる.一方,第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる.第$3n+1$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる.また第$3n$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる.
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