「速度」について
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国立 長崎大学 2010年 第4問$a$を$a>1$を満たす定数とする．原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び，点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．
(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$m$を正の定数とする．この容器に，単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき，底面から水面までの高さを$h$，水面の上昇する速度を$v$とする．$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ．
国立 電気通信大学 2010年 第2問座標平面上を運動する動点P$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．
以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．
\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．
\[ x=t \cos \alpha,\quad y=t \sin \alpha-t^2 \]
で与えられているとする．ただし，$\alpha$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$を満たす定数とする．直線$y=x$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻$t=0$における動点Pの速度$\overrightarrow{v}$とその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)Pが直線$\ell$上の点を通る時刻$t$をすべて求めよ．
(3)正の時刻においてPが$\ell$上の点を通るための$\alpha$の範囲を求めよ．
以下では，$\alpha$は(3)で求めた範囲にあるとする．
\mon[(4)] 正の時刻においてPが通る$\ell$上の点の$x$座標を求めよ．
\mon[(5)] (4)で求めた$\ell$上の点の$x$座標を$f(\alpha)$とし，$\alpha$を(3)で求めた範囲で変化させる．$f(\alpha)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$\alpha$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第3問座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．
私立 獨協医科大学 2010年 第4問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として，$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$，$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．
(1)点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは，$|\overrightarrow{v}|=[ ] \sqrt{[ ]+\pi^2}e^{-2t}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]+\pi^2}}$であり，これは時刻$t$によらない一定値である．
(3)$n$を自然数として，$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は，
\[ S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2} \left( e^{[ ]}-[ ] \right) e^{-2n} \]
である．また，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{[ ]+\pi^2}$である．
(4)$t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は，$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$で，$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin [$*$] \pi t+\pi (1-\cos [$*$] \pi t) \} \, dt$である．