「速度」について
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私立 金沢工業大学 2012年 第4問座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．
(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．
(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．
私立 成城大学 2012年 第2問ある自動車が速度$x \; \mathrm{km/h}$で走行しているとき，ブレーキをかけてから停止するまでの距離を$y \; \mathrm{m}$とすると，$x$と$y$の間には$y=ax^2$という関係がある．ただし，$a$は定数とし，$x=50$のとき，$y=25$であるとする．
(1)$a$の値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が$0.9$秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を$51 \; \mathrm{m}$以下にするためには，速度何$\mathrm{km/h}$以下で走行すればよいか．
(1)$a$の値はいくつになるか．
(2)危険を感じてから実際にブレーキをかけるまでの時間が$0.9$秒である運転者が，この車を停止させるまでの距離を$51 \; \mathrm{m}$以下にするためには，速度何$\mathrm{km/h}$以下で走行すればよいか．
私立 中部大学 2012年 第2問沖合から湾に面した海岸に向かって直線的にモーターボートを走らせている．モーターボートの速度は一定で時速$36 \; \mathrm{km}$である．モーターボートの進行方向の右前方に，湾から突き出した岬があり灯台が立っている．モーターボートの進行方向から灯台に向かって測った角度が$\theta (0^\circ<\theta<45^\circ)$である地点を$\mathrm{A}$とする．
(1)$\mathrm{A}$点から$11$分$40$秒後に角度が$90^\circ-\theta$である地点$\mathrm{B}$を通過した．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離を求めよ．
(2)モーターボートがさらに進んで，角度が$90^\circ$となる地点$\mathrm{C}$に到達した．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$までかかった時間は$26$分$40$秒であった．灯台と$\mathrm{C}$点までの距離を求めよ．
(3)灯台と$\mathrm{A}$点の距離を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$点から$11$分$40$秒後に角度が$90^\circ-\theta$である地点$\mathrm{B}$を通過した．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離を求めよ．
(2)モーターボートがさらに進んで，角度が$90^\circ$となる地点$\mathrm{C}$に到達した．$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$までかかった時間は$26$分$40$秒であった．灯台と$\mathrm{C}$点までの距離を求めよ．
(3)灯台と$\mathrm{A}$点の距離を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第3問正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第2問Oを原点とする$xy$平面上を動く点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=(1+t^2)\cos t,\quad y=(1+t^2)\sin t \]
で与えられている．時刻$t$におけるPの速度を$\overrightarrow{v}$とし，2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$である．
(1)時刻$t$において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき，$c,\ d$を$t$を用いて表せ．
(2)$t>0$のとき，$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>0$における$\theta$の最小値を求めよ．
\[ x=(1+t^2)\cos t,\quad y=(1+t^2)\sin t \]
で与えられている．時刻$t$におけるPの速度を$\overrightarrow{v}$とし，2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$である．
(1)時刻$t$において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき，$c,\ d$を$t$を用いて表せ．
(2)$t>0$のとき，$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>0$における$\theta$の最小値を求めよ．
私立 立教大学 2011年 第3問座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を，点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と，座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を，点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$について，$4$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$について，$4$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ．
（図は省略）
私立 福岡大学 2011年 第4問曲線$y=-\cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし，水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．
(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．
(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第4問平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．
(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．
(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第3問座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標を
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．