以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．

時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．

(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．



(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．

(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．

このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．

(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．

このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．

$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t (t>0)$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=t^2 \cos t,\quad y=t^2 \sin t \]
で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t (t>0)$のうち，最も小さいものを$t_1$，次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．

関数$s(t)$はつねに$s^\prime(t)>0$をみたし，$s(0)=0$とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$は，時刻$t$の関数として$x=s(t)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2} \{s(t)\}^2$で与えられ，点$\mathrm{P}$の速度$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$は
\[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \]
をみたすとする．また，$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$，$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく．次に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ．
(2)$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$，$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ．また，$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

$2$つの物体$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が平面上をそれぞれ一定の速度$u,\ v$（$\mathrm{km}/$時）で$\mathrm{A}$は真東に，$\mathrm{B}$は真北に移動している．最初，$2$つの物体間の距離は$10 \, \mathrm{km}$であった．$1$時間後，その距離は$4 \, \mathrm{km}$となり，さらに$1$時間後は$12 \, \mathrm{km}$となった．$x$軸，$y$軸の正の方向をそれぞれ真東，真北として座標軸をとるとき，以下の問に答えよ．

(1)$x$軸，$y$軸上に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の初期の位置をそれぞれ$(x,\ 0)$，$(0,\ y)$（単位は$\mathrm{km}$）として，最初，$1$時間後，$2$時間後の$\mathrm{AB}$間の距離の$2$乗を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(2)$3$時間後の両物体間の距離を$Z$とし，$Z^2$を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(3)$3$時間後の両物体間の距離を求めよ．
(4)両物体が平面上で衝突しないことを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．

曲線$y=x^2$の上を動く点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．この動点の速度ベクトルの大きさが一定$C$のとき，次の問いに答えよ．ただし，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は時刻$t$に対して$x$が増加するように動くとする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$を$x$で表せ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$の加速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{\alpha}=\left( \frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2} \right)$を$x$で表せ．
(3)半径$r$の円$x^2+(y-r)^2=r^2$上を速度ベクトルの大きさが一定$C$で動く点$\mathrm{Q}$があるとき，この加速度ベクトルの大きさを求めよ．
(4)動点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の原点$(0,\ 0)$での加速度ベクトルの大きさが等しくなるときの半径$r$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．

(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[　]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[　]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[　]$である．ただし$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[　]$である．

図に示す一辺の長さが$10a (a>0)$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺上を車両が動くとき，次の問に答えよ．

(1)車両$\mathrm{Q}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{C}$を出発し，点$\mathrm{D}$を経由して点$\mathrm{A}$まで動くものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$の条件下で，点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との間で通信が行われる．通信に必要な電力$y$は，$2$点間の直線距離の$2$乗である．時間$t$経過後の電力$y$の変化を横軸に$t$，縦軸を$y$としたグラフに示せ．
(3)$(1)$の条件下で，車両$\mathrm{P}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{A}$を出発し，点$\mathrm{B}$を経由して点$\mathrm{C}$へ向かうものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の車両$\mathrm{P}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離の$2$乗$z$の変化を横軸に$t$，縦軸を$z$としたグラフに示せ．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[　] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[　]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[　]$である．

電車が直線の線路を一定の速度で走っている．ある時刻に前方の右手に高さ$634 \mathrm{m}$の塔が見えた．そのとき塔の先端を見上げる角が$30^\circ$であった．その$1$分後に電車が塔に最も近づき，見上げる角は$45^\circ$になった．この電車は時速何$\mathrm{km}$で走っていますか．小数第$1$位を四捨五入して，整数で求めなさい．

ただし，線路は水平面上にしかれており，塔はその水平面上にたっているとする．また，見上げる角は，電車の高さおよび目までの高さを無視してこの水平面となす角とする．