毎秒$60 \, \mathrm{m}$の速さで真上に打ち上げられた物体の$x$秒後の高さを$y \, \mathrm{m}$とすると，
\[ y=-5x^2+60x \qquad (0 \leqq x \leqq 12) \]
の関係が成り立つ．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)この物体が達する最高地点の高さを求めよ．
(2)物体の高さが$100 \, \mathrm{m}$以下である時間の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2013} \frac{1}{\sum_{j=1}^k j}$を求めよ．
(2)実数$a,\ b$を係数とする$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が異なる$2$つの虚数解をもつ．$1$つの虚数解を$\alpha$とすると，他の解は$2 \alpha-4+3i$と表すことができる．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=\cos 2t,\quad y=\sin t \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の速さは
\[ v=\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \]
である．次の問いに答えよ．

(i) $v^2$を$\cos t$で表せ．
(ii) $v$の最大値を求めよ．

$xy$平面上に$7$点$\mathrm{A}(-4,\ 1)$，$\mathrm{B}(-5,\ 0)$，$\mathrm{C}(-3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-2,\ 1)$，$\mathrm{E}(0,\ 2)$，$\mathrm{F}(0,\ 0)$，$\mathrm{G}(2,\ 0)$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$は右へ，三角形$\mathrm{EFG}$は左へ，それぞれ$x$軸に平行に毎秒$0.5$の速さで移動する．移動開始から$t$秒後の状況について，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{F}$が$t_1$秒後に点$\mathrm{C}$と，$t_2$秒後に点$\mathrm{B}$と一致した．$t_1$と$t_2$の値を求めよ．
(2)$t_1<t<t_2$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{EFG}$の重なる部分の面積$S$を$t$を用いて表し，$S$の最大値を求めよ．

座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．

(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．

半径$a\;$cmの球$B$を，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒$v\;$cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球$B$を沈め始めてから$t$秒後までにあふれ出る水の体積を$V\;$cm$^3$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ v$は正の定数で，容器$Q$に球$B$を完全に水没させることができるとする．

(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ．また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており，開口した面は水平に保たれている．球$B$は完全に水面下に入った瞬間，水面と容器$Q$の3つの面に接するという．$b$を$a$で表せ．

底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．

(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．

座標平面において，動点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t^{\frac{1}{4}} (1-t)^{\frac{3}{4}},\quad y=t^{\frac{3}{4}} (1-t)^{\frac{1}{4}} \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．

(1)動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のときであり，$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときである．
(2)$0<t<1$のとき，動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ヒ]}{[フ]}$のとき，$t=1$のときの$3$回である．
(4)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする．$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．

座標平面において原点を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円を$C_2$とする．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を反時計回りに$1$秒間に$2$回転の速さで等速円運動をし，動点$\mathrm{Q}$は$C_2$上を反時計回りに$1$秒間に$1$回転の速さで等速円運動をしている．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{P}$は$(0,\ 1)$にあり，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 0)$にあるものとする．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の$2$乗の最大値と最小値，およびそれらをとる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

$xy$平面上で，点A$(-1,\ 0)$を中心とする円$C_1$と点B$(1,\ 0)$を中心とする円$C_2$が原点Oで外接している．点Pは円$C_1$上を，点Qは円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{OAP} = \theta$とするとき，P，Qの座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．