「通過」について
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国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第1問座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．
(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問$s$を$-1 \leqq s \leqq 1$を満たす実数とする．$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{a_s},\ \overrightarrow{b_s},\ \overrightarrow{c_s}$を
\[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \]
と定める．$t$を実数とし，$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$
により定める．さらに，$s$を媒介変数とする$2$つの曲線
$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$
を考える．次の各問いに答えよ．
(1)$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角，および，$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ．
(3)${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ．
(4)$t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき，$C_t$が通過する部分を$D$とする．$D$を図示せよ．
(5)$(4)$で定めた$D$の面積を求めよ．
(6)$(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(7)$K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ．
(8)$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき，$K_t$が通過する部分の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \]
と定める．$t$を実数とし，$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$
により定める．さらに，$s$を媒介変数とする$2$つの曲線
$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$
を考える．次の各問いに答えよ．
(1)$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角，および，$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ．
(3)${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ．
(4)$t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき，$C_t$が通過する部分を$D$とする．$D$を図示せよ．
(5)$(4)$で定めた$D$の面積を求めよ．
(6)$(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(7)$K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ．
(8)$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき，$K_t$が通過する部分の面積を求めよ．
私立 東京薬科大学 2015年 第2問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．
(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．
(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，
$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．
(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．
(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．
(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，
$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問図$1$～$3$のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で上，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問図$1$～$3$のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で上，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問図$1$～$3$のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で上，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$3$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3)図$3$において，$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$3$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3)図$3$において，$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第6問座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-2 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．
(1)$s$を$0 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．
(1)$s$を$0 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．