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東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第3問
$k>0$として,座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える.曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を,$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる.また,点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし,図のように,曲線$C$,直線$\ell_2$,$x$軸,$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする.ただし,$e$は自然対数の底である.
(図は省略)

(1)点$\mathrm{P}$の座標と,直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ.
(2)図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)$k$が$k>0$を動くとき,$(2)$で求めた$V$の最小値と,それを与える$k$の値を求めよ.
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