$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．

(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．

$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]

(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

実数$a$に対し，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．

以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．

\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=-E$を満たすとする．

(1)$a=0$のとき，$d,\ bc$の値を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p,\ q$を用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$a$を任意の実数とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．

$\alpha>1$とする．$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする．$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき，$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし，点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする．このとき，点Rは直線$\ell_t$上にあり，曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ．

関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．

2次の正方行列$A,\ B$に対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．

(1)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，和$A+B$も逆行列を持つ．
(2)行列の和$A+B$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
(3)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，積$ABA$も逆行列を持つ．
(4)行列の積$ABA$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-4 & 3
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．

(1)$A^2,\ A^3$を計算せよ．
(2)自然数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)自然数$n$について$A^n$の逆行列を求めよ．

行列$P$で表される$1$次変換によって平面上の点$(-2,\ 1)$と点$(1,\ 1)$が，それぞれ点$(-1,\ 3)$，点$(2,\ 6)$に移る．

(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)2次正方行列$X,\ Y$が共に逆行列をもてば，積$XY$も逆行列をもつことを示せ．
(2)すべての実数$s$について，$A+sE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)すべての実数$t$について，$A^2+3tA+2t^2E$は逆行列をもつことを示せ．