以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g \circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ． \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」

次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．

(1)$2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき
\[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \]
が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2)$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3)$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

$x,\ y$は実数で，$x+2y=3$を満たすとする．さらに，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
2 & -1
\end{array} \right)$に対して等式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=-2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が成り立つとする．

(1)$x,\ y$の値を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & x \\
1 & y
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示し，$P^{-1}AP$を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする．以下の問に答えよ．

(1)$A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2)次の式を満たす$A$を求めよ．
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\
\displaystyle\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right) \]
(3)$n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について
\[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

$a,\ b$を実数の定数とし，$3$つの行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
3 & -2 \\
a & 1
\end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
5 & -4 \\
6 & -5
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
は$AR=QA$を満たしている．次の$[　]$をうめよ．

$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある．そのうち，$A$が逆行列をもたないのは，$a=[$①$]$のときであり，このとき，$b=[$②$]$である．$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは，$a=[$③$]$のときであり，このとき，$A^{-1}=[$④$]$，$b=[$⑤$]$である．
$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \]
とおく．$AR=QA$であるから，$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて
\[ S_n=\left( \begin{array}{cc}
x_n & 0 \\
0 & y_n
\end{array} \right) A \]
と表される．
$a=[$③$]$のときは，$x_n=[$⑥$]$，$y_n=[$④chi$]$である．したがって，$E$を単位行列として，
\[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=[$\maruhachi$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
7 & -3 \\
-3 & 1
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{c}
2 \\
-4
\end{array} \biggr)$とするとき，$A$の逆行列$A^{-1}$と$B$の積$A^{-1}B$を計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=x^{1+\frac{1}{x}} \quad (x>0) \]
(3)次の積分を求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x+1} \, dx$
\mon[(ii)] $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

実数を成分とする行列$A =\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$が$A^2 -A+E = O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(1)$A$は逆行列をもつことを示せ．
(2)$a+d$と$ad-bc$を求めよ．
(3)$b>0,\ A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)$のとき，$A$を求めよ．

行列$A$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(x+y,\ x-y)$に移る．行列$B$で表される移動によって，点$(x,\ y)$は点$(2x+y+ax,\ x+2y-ay)$に移る．行列$X$が$AX=B$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$の逆行列が存在しないような$a$の値を求めよ．
(2)$a$が整数で，行列$X^{-1}$のすべての成分が整数になるような$a$をすべて求めよ．