$t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
t & t-1 \\
1-t & 2-t
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(2)$A+A^{-1},\ A-A^{-1},\ (A-A^{-1})^2$を求めよ．
(3)$A^{2n}-tA^n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$n$によらない行列になるという．このときの$t$の値を求めよ．

行列$X=\left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array} \right),\ Y=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，$A=XY$とする．行列$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & r \\
t & s
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{rr}
r & s \\
-1 & -s
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たし，かつ$P$が逆行列をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$r,\ s,\ t$は実数とする．

(1)$A$を求めよ．
(2)$B,\ P$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

2次の正方行列$A,\ B$について次の2つの条件を考える．($O$は零行列を表す．)

\mon[(a)] $A^3B^2-A^2B^3=O$
\mon[(b)] $A^2 \neq O$かつ$B^2 \neq O$


(1)(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，$A \neq B$である$A,\ B$の例を1組あげよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

$a$を実数とする．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$について，以下の各問に答えよ．

(1)行列$E-A$が逆行列を持つかどうか調べよ．また，逆行列を持つ場合にはそれを求めよ．
(2)$A^n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)．
(3)$S_n=E+A+A^2+\cdots +A^n$とおくとき，$S_n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)．

$2$次正方行列$A$は点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$へ移し，点$(3,\ 3)$を点$(9,\ 12)$へ移す．

(1)$A$を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
a & b
\end{array} \right)$および$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & m
\end{array} \right)$は$AP=PB$を満たす．$P$が逆行列を持つときの$a,\ b,\ m$の値および逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$について，$A^n$を$n$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{C}(1,\ 3)$が$A^n$により移動する点を$\mathrm{C}_n$と表す．$\mathrm{C}_n$は$n$によらない直線$\ell$上の点であることを示せ．また$\ell$の方程式を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\mat<3,1>[-2,-1,5,4],\quad B=\mat<3,1>[-1,0,0,3],\quad C=\mat<3,1>[1,1,a,b] \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$AC=CB$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ．
(2)$\tvec<3,1>[x_n,y_n]=(A^{-1})^n \tvec<3,1>[1,3]$によって$x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．このとき，$x_n,\ y_n$を$n$の式で表せ．ただし，$A^{-1}$は$A$の逆行列である．
(3)$x_n,\ y_n$は(2)で求めたものとし，Oを原点とする$xy$平面上の点$(x_n,\ y_n)$をP$_n$とする．このとき，${\text{OP}_n}^2>8.3$となるような$n$をすべて求めよ．

座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．