$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4)$(3)$の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．

$A$を実数を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して，行列$(\alpha E-A)$，$(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．

(1)$\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2)$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を
\[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \]
と表し，
\[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \]
とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．

2次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．

$a=\sqrt{7}+\sqrt{5},\ b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．

(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -2 \\
2 & 8
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．ただし，$P^{-1}$は$P$の逆行列を表す．

(1)$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(2)行列$B$を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，行列$B^n$を$n$を用いて表せ．また，行列$A^n$を$n$を用いて表せ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

$A$は$2$次正方行列とし，$E$，$O$はそれぞれ$A$と同じ型の単位行列，零行列とする．$A$は$kE$（$k$は実数）の形でなく，$A^2-3A+2E=O$を満たす．以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$A^3=aA+bE$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．
(2)$A^n=a_nA+b_nE$を満たす実数$a_n,\ b_n$を求めなさい．
(3)$A^n$の逆行列が$xA+yE \ (x,\ y\text{は実数})$と表せるとき，$x,\ y$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(i) $A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^2,\ A^3,\ A^4$を求めよ．
(iii) 正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

(2)$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$であるとする．2次関数$f(x)=ax^2+bx+c \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -2
\end{array} \right)$が表す$1$次変換を$f$とする．以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ b)$が$1$次変換$f$によって移される点$\mathrm{P}^\prime$の座標を求めよ．
(3)直線$3x-y=2$が$1$次変換$f$によって移される直線を求めよ．
(4)$y=3x$に関する対称移動$g$は$1$次変換であることを示し，$g$を表す行列を求めよ．

$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．整数$n \geqq 1$に対して，次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める．

「数字の組$(1,\ 1)$，$(1,\ 2)$，$(2,\ 1)$，$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき，$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする．」

この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に，$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする．

(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に，$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ．
(3)$p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．