次の問いに答えよ．

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right)$とし，$pA+qE$（$p,\ q$は実数）の形の$2$次正方行列全体の集合を$M$とする．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(i) $A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^{-1}$は集合$M$に属することを示せ．

(3)$m,\ n$を正の整数として次の命題を考える．

「$m^2+2n^2$が$3$の倍数でない \quad $\Longrightarrow$
（$m$は$3$の倍数でない$\ $または$\ n$は$3$の倍数である）」

(i) この命題の対偶を述べよ．
(ii) この命題が偽であることを示せ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A$の逆行列は存在しないとする．$2$次正方行列$X$は$XAX=X$かつ$AX=XA$かつ$A^3X=A^2$を満たすとする．$A^2 \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^3Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$のとき，$X$を求めよ．

$a$と$b$を実数とする．$2$次正方行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) \]
の逆行列が存在するとし，$A$を等式
\[ AX=\left( \begin{array}{cc}
-2a & -2b \\
-2b & 2a
\end{array} \right) \]
を満たす$2$次正方行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X^{-1}AX$を求めよ．
(2)$n$が正の偶数のとき，$A^n$を求めよ．
(3)$n$が正の偶数のとき，$(A^{-1})^n$を求めよ．

任意の$2$次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対し，$D(M)=ps+3qr$，$T(M)=p+s$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
d & b \\
c & a
\end{array} \right)$とし，$D(AB)=D(A)D(B)$が成り立つものとする．

(1)$bc=0$が成り立つか，または$A$の逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数$n$に対し，$T(A^n)$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{array} \right)$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(2)$P^{-1}AP$を求めよ．
(3)$B=P^{-1}AP$とおく．$n$が自然数のとき，$B^n$を求めよ．
(4)$n$が自然数のとき，$A^n$を求めよ．

$s,\ t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s & t
\end{array} \right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．

2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2)$D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3)$X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる．また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．
(2)すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ．
(3)$X^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．
(4)$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．