以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．

$a \neq 1$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-a^2 & 2a
\end{array} \right)$とする．

(1)$E-A$の逆行列$B$を求めよ．ただし$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=B(E-A^{n+1}) \]
となることを示せ．
(3)$A^n=\left( \begin{array}{cc}
-(n-1)a^n & na^{n-1} \\
-na^{n+1} & (n+1)a^n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を数学的帰納法を用いて示せ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka^{k-1}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -6 \\
8 & 13
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
5 & 0 \\
0 & a
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
-1 & 4
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たしている．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数で，$b \neq -4$とする．

(1)行列$P$の逆行列を$b$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$の値を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$2$次の正方行列を$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える．このとき，行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいものとする．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とし，$t$は実数とする．$A$は，$A^3=E$を満たす$2$次の正方行列とする．

(1)$(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ．
(2)$t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)次の$3$つの命題を証明せよ．

(i) $A=E$ならば，$A^2+A+E \neq O$である．
(ii) $A^2+A+E \neq O$ならば，$A-E$は逆行列をもたない．
(iii) $A-E$が逆行列をもたないならば，$A=E$である．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とし，$t$は実数とする．$A$は，$A^3=E$を満たす$2$次の正方行列とする．

(1)$(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ．
(2)$t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)次の$3$つの命題を証明せよ．

(i) $A=E$ならば，$A^2+A+E \neq O$である．
(ii) $A^2+A+E \neq O$ならば，$A-E$は逆行列をもたない．
(iii) $A-E$が逆行列をもたないならば，$A=E$である．

行列$A,\ B$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 9
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
y & z
\end{array} \right) \]
とする．ただし，$x,\ y,\ z$は実数である．

(1)$AB=BA$であるとき，$z=x+[サ]y$である．

(2)$B$が$A$の逆行列ならば，$\displaystyle x=\frac{[シ]}{[ス]}$，$\displaystyle y=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．

行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．

(1)$\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]} \left( \begin{array}{cc}
[エ] & [オ] \\
[オ] & [エ]
\end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[カ]}{[キクケ]},\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]} \right)$である．
(2)$E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=[サ]$かつ$\theta=[シ]$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \]
また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & 1-r \cos \theta
\end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ] & -r \sin \theta+r^n [ソ]-r^{n+1} [タ] \\
r \sin \theta-r^n [ソ]+r^{n+1} [タ] & 1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ]
\end{array} \right) \]
である．ただし，$[ス]$，$[セ]$，$[ソ]$，$[タ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \]
$0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると，
\[ \mathrm{Q}=\left( \frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\ \frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2} \right) \]
である．

$a,\ b$を定数とし，$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．

(1)$Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2)$A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
6 & 3
\end{array} \right)$のとき，$a,\ b (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．