（旧課程履修者）行列$A,\ E$を$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$a,\ b$を$a^2+b^2 \neq 0$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$X=aA+bE$の逆行列$X^{-1}$を求めよ．
(3)$B^2=-E$を満たす任意の$2$次の正方行列$B$について，$(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tE$となる実数$s,\ t$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$B$に対して$Y=aB+bE$とおくとき，$pB+qE$が$Y$の逆行列$Y^{-1}$と等しくなるような実数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
a & -3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
2 & -6
\end{array} \right)$は$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{rr}
3 & b \\
0 & c
\end{array} \right)$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$A$は逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して，$(A+6A^{-1})^n$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$4P+Q=A$と$P+Q=E$を満たす$2$次正方行列$P,\ Q$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$P,\ Q$に対して，$PQ,\ QP$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)$A^n$の逆行列を$B_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$が$A^2+A+E=O$の関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$A^3$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(3)$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7+A^8+A^9+A^{10}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．
(4)$A$の逆行列$A^{-1}$を，$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u}=(p,\ q)$，$\overrightarrow{v}=(r,\ s)$は
\[ |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|=1,\quad A \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\alpha \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right)=\beta \left( \begin{array}{c}
r \\
s
\end{array} \right) \]
を満たすとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$は直交することを示せ．
(2)行列$X=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$(2)$の$X$に対して，$AX=X \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$となることを示せ．
(4)自然数$n$に対して，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
f_n & g_n \\
h_n & k_n
\end{array} \right)$とする．このとき，$f_n+k_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．

以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．