初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．

(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．

(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．

$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．

栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．

(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．

硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す．硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点，$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった．なお，硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする．

(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．

白い玉が$3$個，黒い玉が$2$個，赤い玉が$1$個入った袋から，玉を取り出す．白い玉は$0$点，黒い玉は$1$個につき$1$点，赤い玉は$1$個につき$2$点がそれぞれ与えられる．$2$個の玉を同時に取り出したときに与えられる点の合計を得点とする．次の問いに答えよ．

(1)得点が$2$点である確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)袋に白い玉を追加したら，得点の期待値が$\displaystyle \frac{4}{5}$になった．追加した白い玉の個数を求めよ．

下の図のように，$F_1$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする．$F_1$の$3$つの辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_1$の外側に追加して得られる多角形を$F_2$とする．次に，$F_2$の$12$個の辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_2$の外側に追加して得られる多角形を$F_3$とする．以下同様にして，$F_4,\ F_5,\ F_6,\ \cdots$を作るものとする．$F_n$の辺の個数を$K_n$，周の長さを$L_n$，面積を$S_n$とする．
（図は省略）

(1)$K_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(2)$L_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(3)$S_1$と$S_n-S_{n-1} (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)$S_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(5)数列$\{L_n\}$の極限を調べよ．
(6)数列$\{S_n\}$の極限を調べよ．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．

(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．

例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．

(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．

数直線上を次の規則で動く点Pがある．

(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．

はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．