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私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^2-y^2=[イ]$である．
(2)関数$y=-2x^2+6x-5 (0 \leqq x \leqq 2)$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)円$C_1:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と点$\mathrm{A}(3,\ 0)$の中点$\mathrm{Q}$の座標は$[オ]$である．これより，$\mathrm{P}$が$C_1$上をもれなく動くとき，$\mathrm{Q}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_2:y=x^2-2x$と直線$\ell:y=x$がある．$C_2$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C_2$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．
私立 神戸薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1$を実数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)$x^{2016}$を$x^2-1$で割った余りを求めると$[イ]$である．
(3)$\cos {28}^\circ+\cos {75}^\circ+\cos {150}^\circ+\cos {208}^\circ+\cos {255}^\circ$の値を求めると$[ウ]$である．
(4)$12707$と$12319$の最大公約数を求めると$[エ]$である．
(5)$2^x=5^y=10$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$の値を求めると$[オ]$である．
(6)点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$と点$\mathrm{B}(6,\ 0)$からの距離の比が$1:3$となる点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$[カ]$である．
(1)$(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1$を実数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)$x^{2016}$を$x^2-1$で割った余りを求めると$[イ]$である．
(3)$\cos {28}^\circ+\cos {75}^\circ+\cos {150}^\circ+\cos {208}^\circ+\cos {255}^\circ$の値を求めると$[ウ]$である．
(4)$12707$と$12319$の最大公約数を求めると$[エ]$である．
(5)$2^x=5^y=10$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$の値を求めると$[オ]$である．
(6)点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$と点$\mathrm{B}(6,\ 0)$からの距離の比が$1:3$となる点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めると$[カ]$である．
私立 青山学院大学 2016年 第3問$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}$は以下の条件を満たすとする．
(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．
このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．
このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問$r$を$r>1$である定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$は，原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする．点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は，$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，$p>0$であるとする．また点$\mathrm{Q}$に対して，点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える．このとき次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．
(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．
私立 大阪薬科大学 2016年 第3問次の問いに答えなさい．
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$，および直線$\ell$がある．
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である．
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．
(2)$a$を$1$以上の定数とする．$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて，
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき，その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$C$上の$\mathrm{Q}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$，および直線$\ell$がある．
(1)$\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である．
(i) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(ii) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．
(2)$a$を$1$以上の定数とする．$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて，
\[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \]
を満たしながら動くとき，その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．
(i) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$C$上の$\mathrm{Q}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．
私立 大阪歯科大学 2016年 第3問平面上に異なる$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$をみたす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)$(1)$の$\mathrm{P}$のうち，さらに，$\displaystyle \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2 \leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \leqq \frac{3}{2} |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2$をみたす$\mathrm{P}$の軌跡の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$をみたす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)$(1)$の$\mathrm{P}$のうち，さらに，$\displaystyle \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2 \leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \leqq \frac{3}{2} |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2$をみたす$\mathrm{P}$の軌跡の長さを求めよ．
公立 京都府立大学 2016年 第3問$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 九州大学 2015年 第1問座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第3問座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{6},\ \sqrt{2})$，$\mathrm{C}(\sqrt{6},\ 3 \sqrt{2})$に対して，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は線分$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$の垂直二等分線が点$\mathrm{C}$で交わるという条件を満たす点とする．ただし，$q>\sqrt{2}$である．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BP}$へ下ろした垂線と点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AP}$へ下ろした垂線が点$\mathrm{T}(s,\ t)$で交わっているとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
国立 佐賀大学 2015年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．