$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

$t$を正の実数とする．座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．$\mathrm{P}$において$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，$\mathrm{P}$において$\ell_2$に接する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$のもう一つの交点$\mathrm{Q}$は$([ア],\ [イ])$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$([ウ])^{[エ]}$である．
(2)$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積$S$は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \cdot ([キ])^{[ク]} \]
であり，$S$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]}$のときに最小値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$を取る．

(3)$C_2$の頂点$\mathrm{R}$は$([ス],\ [セ]+[ソ])$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心の軌跡は
\[ y=\frac{[タ]}{[チ]}x^2+\frac{[ツ]}{[テ]} \]
である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,\ 1)$を点$(5,\ 5)$に，点$(1,\ -7)$を点$(-3,\ 21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0 (*) \]
を考える．

(1)$f$を表す行列を求めよ．
(2)条件$(*)$を満たす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．
実数$a \geqq 0$に対して，
「点$(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件$(*)$を満たすものがちょうど$2$つある」 $(**)$
とする．この$2$点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とするとき，$i=1,\ 2$に対して，$\mathrm{P}_i$の$f$による像を$\mathrm{Q}_i$とし，$\triangle \mathrm{OP}_i \mathrm{Q}_i$の面積を$S_i$とする．
(3)上の条件$(**)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．

座標平面上に円$(x+4)^2+y^2=16$と点$\mathrm{P}(4,\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を通る直線$y=mx+n$が円と$2$個の共有点を持つように定数$m$の値の範囲を定めよ．
(2)円周上を動く点$\mathrm{Q}$がある．線分$\mathrm{PQ}$を$3:2$に内分する点の軌跡を求めよ．

指数関数$y=2^x$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．

関数$f(x)=x^3+2x^2+x-3$について，つぎの問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を実数とする．曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(a,\ f(a))$，$(-a,\ f(-a))$における接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とするとき，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を表す曲線$y=g(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)円$C_0$と内接し，円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$，中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき，$r$を$\alpha$によって表せ．
(2)中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ．
以上で考察した円$D$は無数にあるが，これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある．以下ではこのことを調べてみよう．円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ．
(4)点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ．

$xy$平面において，点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円に外接し，さらに$x$軸に接する円の中心を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標が$2$のとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡$C$の方程式を求めよ．
(3)軌跡$C$，$x$軸，$y$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,\ t)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．