円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(x_0,\ 0)$があり，$0<x_0<1$とする．原点$\mathrm{O}$と円$C$上の点$\mathrm{B}$を通る直線$\ell_1$と線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{B}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を下の座標平面上に図示せよ．
（図は省略）

座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)$2$本の接線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QPR}=45^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．

$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）

曲線$x^2+y^2=100$（$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$）を$C$とする．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$は$C$上にあり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致するときは，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}$に等しいものとする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 8)$であり，点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は，
\[ (x-[キ])^2+(y-[ク])^2=[ケ],\ [コ] \leqq x \leqq [サ],\ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$C$上を自由に動くとき，点$\mathrm{R}$の動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]}\pi + [タ] \]
である．ただし，$[ソ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

曲線$x^2+y^2=100\ (x \geqq 0 \text{かつ} y \geqq 0)$を$C$とする．点P，Qは$C$上にあり，線分PQの中点をRとする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点Rは点Pに等しいものとする．

(1)点Pの座標が$(6,\ 8)$であり，点Qが$C$上を動くとき，点Rの軌跡は，
\[ \left( x-[キ]\right)^2 + \left(y-[ク]\right)^2 = [ケ],\]
\[ [コ] \leqq x \leqq [サ], \ [シ] \leqq y \leqq [ス] \]
である．
(2)点P，Qが$C$上を自由に動くとき，点Rの動く範囲の面積は，
\[ \frac{[セ]}{[ソ]} \pi + [タ] \]
である．ただし，[ソ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

関数
\[ f(x) = \log(1+\sqrt{1-x^2}) - \sqrt{1-x^2} - \log x \quad (0<x<1) \]
について，つぎの問に答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)曲線$y=f(x)$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$は，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{P}$における接線上にあり，$\mathrm{P}$との距離が$1$で，その$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．

$a$を実数とし，放物線$C:y=x^2-2ax+4a$を考える．

(1)$C$が直線$y=-6x$と接するのは，$a=[タ]$または$a=[チ]$のときである．ただし，$[タ]<[チ]$とする．
(2)$a$がすべての実数を動くとき，$C$の頂点の軌跡の方程式は
\[ y=[ツ]x^2+[テ]x+[ト] \]
である．
(3)$C$が点$(x,\ y)$を通るような$a$が存在するための必要十分条件は
\[ \bigg(x \quad [あ] \quad [ナ] \bigg) \quad [い] \quad \bigg(y \quad [う] \quad [ニ] \bigg) \]
である．
(4)点$(3,\ -1)$を通る$C$の接線が存在するための必要十分条件は
\[ a \quad [え] \quad [ヌ] \]
である．
\begin{screen}
$[あ],\ [う],\ [え]$の選択肢： \\
$(a) < \qquad (b) \leqq \qquad (c) > \qquad (d) \geqq \qquad (e) = \qquad (f) \neq$ \\
$[い]$の選択肢： \\
$(a) $かつ \qquad $(b) $または
\end{screen}

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする．$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\displaystyle \mathrm{Q}(\frac{3}{2}\cos \theta,\ \frac{3}{2}\sin \theta)$がある．点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=1:2$を満たす点とする．

(1)点$\mathrm{R}$が直線$y \cos \theta-x \sin \theta=0$上にあるとき，それらの点の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]} \cos \theta,\ \frac{[コ]}{[サ]} \sin \theta \right),\quad \left( \frac{[シ]}{[ス]} \cos \theta,\ \frac{[セ]}{[ソ]} \sin \theta \right) \]
である．ただし，$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}>\frac{[シ]}{[ス]}$とする．
(2)$\mathrm{R}$の軌跡は方程式
\[ \left( x-\frac{[タ]}{[チ]} \cos \theta \right)^2+\left( y-\frac{[ツ]}{[テ]} \sin \theta \right)^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
が表す円$D(\theta)$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を動くとき，(2)で求めた$D(\theta)$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌネ]} \pi$である．