$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が2である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．

$r$を$1$より大きい実数とする．半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる．最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,\ 1)$，点$\mathrm{Q}$は$(0,\ 2)$にあるものとし，円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角$\theta$ラジアンだけ回転したとき，半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる．$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える．

(1)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし，$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする．$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき，$r$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)において，$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ．

座標平面において，点$(0,\ 5)$を通り，直線$y=x$と点$(a,\ a)$で接する円$C$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき，コンパスと目盛りのない定規を用いて，円$C$を作図する手順を説明せよ．
(2)円$C$の方程式を求めよ．
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく．このとき，$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ．

座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と円$C:x^2+(y-2)^2=4$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{M}$を通り$\mathrm{AP}$に垂直な直線を$\ell$とする．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$に接するとき，点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，直線$\ell$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を，それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
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(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

$a$を正の定数とする．次の方程式で表される円$C_1$と放物線$C_2$がある．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の円$x^2+y^2-10x-10y+49=0$を$C$とする．原点$\mathrm{O}$を通り，円$C$に接する直線のうち，傾きの大きい方を$\ell$とする．

(1)$\ell$の傾きを求めよ．
(2)$x$軸に接し，円$C$と外接するような円の中心$\mathrm{P}$の描く軌跡を求めよ．
(3)直線$\ell$と$x$軸に接し，さらに円$C$と外接する円の半径をすべて求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．

$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．
（図は省略）

(1)$C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3)$C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．