$t$を正の実数とする．座標平面上で点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とし点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を通る円と，直線$y=tx$との$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と直線$y=tx$との距離を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(4)$(3)$の面積$S$が最大になるときの$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(t)=be^{at}$（$a,\ b$：定数）を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと，
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[　] \qquad \cdots\cdots① \]
である．
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする．デカルトは時刻$t$での物体の速度について，速度が落下距離に比例するものと考えた．これに従えば，時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし，$f(0)=x_0>0$，その比例定数を$c_0>0$とするとき，$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[　]$である．
(3)一方，ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた．時刻$T$で落下しはじめた物体の，時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし，$g(T)=x_1>0$，その比例定数を$c_1>0$とするとき，$g(t)=[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．

放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ t)$を考える．ただし，$t$は正の実数である．$C$上の点の中で点$\mathrm{P}$との距離が最小となる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$f(t)=\mathrm{PQ}^2$とするとき，関数$f(t)$のグラフをかけ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とし点$\mathrm{Q}$を通る円と，$C$との共有点の数を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{A}={60}^\circ$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さは$[ア]$である．
(2)$\tan {75}^\circ$の値は$[イ]$である．
(3)$5^x-5^{-x}=6$のとき，$5^x+5^{-x}=[ウ]$である．

(4)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{81}}=[エ]$である．

(5)$4$次方程式$2x^4-5x^2-3=0$の解は$x=[オ],\ [カ],\ [キ],\ [ク]$である．
(6)$2$点$\mathrm{A}(-6,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 2,\ 7)$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$のうち，$x,\ y,\ z$がすべて正の整数となるのは$(x,\ y,\ z)=[ケ]$である．
(7)不等式$\sqrt{|x-3|}<5$を満たす$x$の範囲は，$[コ]$である．
(8)正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[サ]$である．

点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする．$1$個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．$n$を自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ．