$a$を定数とする．放物線$y=a-x^2$の接線のうち，原点との距離が最小になるものの方程式を求めよ．またそのときの距離を求めよ．

$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が$2$である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$a$を正の数とする．円$x^2+y^2=a$と$C$の交点の個数が，$a$の値によってどのように変わるかを調べよ．

$xy$平面上で，点$(1,\ 0)$までの距離と$y$軸までの距離の和が2である点の軌跡を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)円$\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{4}$と$C$の交点の$x$座標をすべて求めよ．さらに，交点の個数を求めよ．

点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(u,\ v)$との距離を$d$とする．ただし，$a$は正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$d$を$u$の式で表せ．
(2)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$u$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}$は，硬貨を$1$回投げて表が出れば$x$軸の正の方向に$2$，裏が出れば$y$軸の正の方向に$1$だけ進むことにする．最初，$\mathrm{P}$は原点にある．硬貨を$5$回投げた後の$\mathrm{P}$の到達点について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の到達点が$(10,\ 0)$となる確率を求めよ．また，$(6,\ 2)$となる確率を求めよ．
(2)$2$点$(10,\ 0)$，$(6,\ 2)$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$の到達点はすべて直線$\ell$上にあることを示せ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と原点との距離を求めよ．
(4)$\mathrm{P}$の到達点と原点との距離$d$が，$2 \sqrt{5}<d \leqq 5$となる確率を求めよ．

$c$を正の定数とする．平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(c,\ 0)$について下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$3$点からの距離の和$\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ}$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

空間内の点$\mathrm{P}(1,\ -1,\ -2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,\ 4,\ 5)$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,\ -4,\ -2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
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座標平面上に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 0)$がある．$0<t<1$のとき，線分$\mathrm{AO}$，$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$t=0$，$t=1$のとき，$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に一致するものとし，$t$を$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{R}$と原点$\mathrm{O}$の距離の最小値を求めよ．
(3)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．