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公立 福岡女子大学 2014年 第1問新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第1問新しく購入した機械は，購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている．検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である．定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる．検査は無料であるが，修理は有料である．$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり，$r$年目（$r=2,\ 3,\ 4$）の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{（円）}, & \text{ただし，前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である．以下の問に答えなさい．
(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする．$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい．
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す．$X$のとり得る値とその確率を表にし，$X$の期待値を$p$の式で表しなさい．
(3)$p=0.1$とする．購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと，修理費用は無料となる．$4$年間保証に加入することと，修理時に費用を支払うのとでは，どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい．
国立 山口大学 2013年 第3問今年$6$万円，来年$27$万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年$s$万円，来年$t$万円の黄金を購入すると，$f=s^2t$で定められる満足度が得られるとする．この人が今年は$6$万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの$(6-s)$万円と，$(6-s)$万円に対する$50 \%$の利息と，来年の収入の$27$万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の$6$万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の$50 \%$だけ来年の収入が減るとする．ただし，$s,\ t$は$0$以上の実数とし，来年の収入から借りる金額は$18$万円を限度とする．また，収入と得られた利息は来年末までにはすべて黄金の購入に使うとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
国立 九州大学 2012年 第3問100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．
(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．
(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．
国立 鹿児島大学 2012年 第7問1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．
(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第3問$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市へ移動するには電車による方法とバスによる方法の$2$つがある．$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市までの電車の運賃は$420$円である．また，バスの運賃は$480$円であるが，バス会社は$25$人まで乗車できる団体券も発行している．団体券は前売り制であり，前日までに$1$万円で購入しなければならず，払い戻しはできない．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．
(1)$25$人以上$50$人以下のグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．全員が同じ手段でそろって移動し，グループの人数は前日までに確定しているとする．このとき電車を使って移動した方が運賃が安くなるのはグループの人数が何人以上，何人以下のときか．
(2)前問で求めた，電車を利用した方が運賃が安くなる最大人数より$1$人だけ人数が多いグループが$\mathrm{A}$市から$\mathrm{B}$市まで移動する．ただし，このうち$1$人は当日移動を取り止める可能性があり，その確率は$p$である．このとき，前日にバスの前売り券を買っておくとすると，当日移動した人の$1$人あたりの運賃の期待値はいくらか．また，これが電車賃より安くなるのは$p$がどのようなときか．
私立 京都薬科大学 2011年 第2問あるジュースにはおまけとして$1$本につき$1$つのキャラクターグッズが付いている．キャラクターグッズは全部で$6$種類あり，現在$2$種類持っているとする．各キャラクターグッズは，同じ割合で封入されているとして，以下の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)今からカウントして，$3$種類目のキャラクターグッズを得るまでに購入するジュースの本数を$X$とする．
(i) $X=1$となる確率は$[ ]$である．
(ii) $X=2$となる確率は$[ ]$である．
(iii) $X=k$となる確率を$P(k)$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n kP(k)=[ ]$となる．
(2)ジュースを$5$本，まとめ買いしたとする．
(i) この$5$本のおまけの中に，少なくとも$1$つは，現在持っていないキャラクターグッズが含まれる確率は$[ ]$である．
(ii) 現在持っていないキャラクターグッズを，ちょうど$1$つだけ得る確率は$[ ]$である．
(iii) 現在持っていないキャラクターグッズ$4$種類を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．$5$つのおまけの中で，$\mathrm{A}$が$2$つ$\mathrm{B}$が$1$つ，残り$2$つはすでに持っているキャラクターグッズが出る確率は$[ ]$である．
\mon[$\tokeishi$] 現在持っていないキャラクターグッズ$2$種類をちょうど$1$つずつだけ（残り$3$つはすでに持っているキャラクターグッズを）得る確率は$[ ]$である．
(1)今からカウントして，$3$種類目のキャラクターグッズを得るまでに購入するジュースの本数を$X$とする．
(i) $X=1$となる確率は$[ ]$である．
(ii) $X=2$となる確率は$[ ]$である．
(iii) $X=k$となる確率を$P(k)$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n kP(k)=[ ]$となる．
(2)ジュースを$5$本，まとめ買いしたとする．
(i) この$5$本のおまけの中に，少なくとも$1$つは，現在持っていないキャラクターグッズが含まれる確率は$[ ]$である．
(ii) 現在持っていないキャラクターグッズを，ちょうど$1$つだけ得る確率は$[ ]$である．
(iii) 現在持っていないキャラクターグッズ$4$種類を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．$5$つのおまけの中で，$\mathrm{A}$が$2$つ$\mathrm{B}$が$1$つ，残り$2$つはすでに持っているキャラクターグッズが出る確率は$[ ]$である．
\mon[$\tokeishi$] 現在持っていないキャラクターグッズ$2$種類をちょうど$1$つずつだけ（残り$3$つはすでに持っているキャラクターグッズを）得る確率は$[ ]$である．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
私立 日本福祉大学 2010年 第1問テーマパークで午前$9$時から入場券を$1$つの窓口で売りはじめ，午前$9$時の時点で窓口の客を除いて$100$人の行列があった．その後，一定の間隔で毎分$20$人の来客があり，午前$9$時$20$分には行列が$300$人となった．ただし，客$1$人あたりの窓口での入場券購入時間は一定とし，行列には窓口で入場券を買っている客は含まないものとする．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．
(1)$1$つの窓口で$1$分間に入場券を購入できる人数を求めよ．
(2)午前$9$時$20$分から窓口を増やして，午前$10$時までに行列を無くすためには，窓口は最低いくつ必要か求めよ．