次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．

(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．

糸の長さ$L$，おもりの質量$m$の振り子の振れの角（水平面に垂直な直線と糸がなす角）の大きさを$\theta$とすると，$\theta$は時刻$t$の関数として
\[ mL \frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg \theta \cdots\cdots (*) \]
を満たす．ただし重力加速度$g$は一定とする．

(1)$\theta=a \cos (2 \pi \nu t+\delta)$（ただし$\nu,\ a,\ \delta$は定数で$\nu>0$，$a \neq 0$）が時刻$t=t_1$で極大値をとり，その後初めて極小値をとる時刻を$t=t_2$とするとき，$t_2-t_1=[$4$]$である．
(2)$(1)$の$\theta$が$(*)$を満たすとき，$\nu$を求めると$\nu=[$5$]$である．
(3)$(2)$の$\theta$に対して時刻$t$におけるこの振り子のエネルギー$E(t)$を
\[ E(t)=\frac{1}{2} mL^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2+\frac{1}{2}mgL \theta^2 \]
で与えるものとする．このとき$\displaystyle \frac{dE(t)}{dt}=[$6$]$である．