2つの放物線$\displaystyle C_1:y=x^2,\ C_2:y=-x^2+2x-\frac{1}{2}$を考える．点A$\displaystyle \left(t,\ -t^2+2t-\frac{1}{2} \right)$における$C_2$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_1$との交点の$x$座標を，$t$を用いて表せ．
(2)点Aの$x$座標を$\displaystyle t=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$とするとき，第1象限において$\ell,\ C_1$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上の原点をOとし，放物線$y=k-x^2$を$C$とする．ただし，$k$は$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きい定数とする．$C$上の点P$(t,\ k-t^2)$が$t \geqq 0$の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP$_0$とおく．

(1)P$_0$の座標を求めよ．
(2)OとP$_0$を通る直線と，P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ．
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$k$の値を求めよ．
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$xy$平面の第1象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．

座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．

\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．

ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．

原点を中心とする楕円$C$が媒介変数$t$を用いて
\[ x=2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\quad y=2 \sin t \]
と表される．ただし，$t$は$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)楕円$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と原点の距離を$l$とする．$l^2$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)楕円$C$の長軸の長さを求めよ．また，長軸と$x$軸のなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(3)楕円$C$の第$1$象限にある部分と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$-平面上の円$C: x^2+y^2=1$の内側を半径$\displaystyle\frac{1}{2}$の円$D$が$C$に接しながらすべらずに転がる．時刻$t$において$D$は点$(\cos\, t,\ \sin\, t)$で$C$に接しているとする．$D$の周上の点$\mathrm{P}$の軌跡について考える．ある時刻$t_0$において点$\mathrm{P}$が$\displaystyle(\frac{1}{4},\ \frac{\sqrt{3}}{4})$にあり，$D$の中心が第$2$象限にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)時刻$t_0$における$D$の中心の座標を求めよ．
(2)第$1$象限において，点$\mathrm{P}$が$C$上にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$-平面上に図示せよ．

$a$を実数の定数とする．円$x^2+y^2+(3a+1)x-(a+3)y-7a-10=0$は，$a$の値にかかわらず，常に定点を通る．その定点のなかで，座標平面上の第$1$象限にある点の$y$座標の値を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．

図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．

第$2$象限の角$\theta$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$を満たしている．このとき$\cos \theta=[　]$，$\cos 2\theta=[　]$である．

$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．