$f(x)=2 \sin x+\cos 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

$2$次関数$y=2x^2-8x+5$について，次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると，グラフの頂点が第$2$象限にくる．このとき，$p,\ q$の値の範囲を求めよ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 5$であるとき，この関数の最大値と最小値を求めよ．

$k$は定数とし，媒介変数$t$を用いて$x=2 \sin^3 t$，$\displaystyle y=k \cos^3 t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線$S$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の第$1$象限の点$\mathrm{P}$に接線を引き，$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{P}$を第$1$象限で楕円上を動かしたときの線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

座標平面に点$\mathrm{E}(1,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 1)$，$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 11)$がある．さらに点$\mathrm{E}^\prime$は第1象限にあり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OE}^\prime \mathrm{F}^\prime$は角$\mathrm{E}^\prime$が直角の二等辺三角形である．

(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．