$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

曲線$C:4x^2+9y^2=36 (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2},\ y_1 \right)$が第$1$象限にある．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．

(1)$y_1$の値を求めなさい．
(2)接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標を求めなさい．
(4)曲線$C$，接線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とし，曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式
\[ (*) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \]
が成り立つことを利用して，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ．
(ii) $x$軸，直線$x=p_n$，および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$p_n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

(4)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$(3)$の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．

点$\mathrm{P}(0,\ 4)$を通る傾き$\displaystyle \frac{1}{5}$の直線を$\ell$とし，曲線$y=|x(x-4)|$を$C$とする．

(1)$\ell$と$C$の第$1$象限における交点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(2)$C$と線分$\mathrm{PQ}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．