次の問いに答えよ．

(1)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)$n \geqq 2$であるような自然数$n$に対して
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\cdots +(n-1) \cdot n \cdot (n+1)=(1+2+3+\cdots +n)(2+3+\cdots +n) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}} \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの整数がひとつずつ書かれた$9$個の玉が入っている袋の中から玉を$3$個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が$12$以上となる確率を求めよ．
(2)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=5$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3$である．$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積とする．

第一象限内にあって$2$つの曲線
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．

(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフと接する$2$本の直線$\ell_1$，$\ell_2$が第$2$象限で交わっている．実数$a,\ b$は$a>0$，$b<0$とし直線$\ell_1$は点$(a,\ 0)$を通り，直線$\ell_2$は点$(b,\ 0)$を通る．点$\mathrm{A}$は直線$\ell_1$と$x$軸の交点，点$\mathrm{B}$は直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点，点$\mathrm{C}$は直線$\ell_2$と$y$軸の交点とする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\displaystyle t=\frac{a}{b}$の関数で，
\[ S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]} \]
となり，面積$S$は$t=[ニ]-\sqrt{[ヌ]}$で最小値をとる．