次の問いに答えよ．

(1)$t$に関する関数$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のグラフをかけ．
(2)$\displaystyle x=\frac{e^t+e^{-t}}{2} (t \geqq 0)$のとき，$\sqrt{x^2-1}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とし，点$\mathrm{P}(a,\ b)$を双曲線$x^2-y^2=1$上にある第$1$象限内の点とする．$\displaystyle a=\frac{e^s+e^{-s}}{2} (s>0)$のとき，線分$\mathrm{OP}$と双曲線$x^2-y^2=1$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を，$s$を用いて表せ．

$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

座標平面上の2点A$(-2,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を端点とする線分ABと楕円の上半分$x^2+4y^2=4,\ y \geqq 0$に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．

(1)点Cの$x$座標を$\displaystyle 2\cos \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，台形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cの$x$座標を求めよ．

次の空欄$[サ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$-$y$平面上の$3$点$\mathrm{P}(-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，$\mathrm{R}(2,\ 0)$を通る$2$次曲線$C$を考える．$C$が方程式
\[ y=ax^2+bx+c \quad (a,\ b,\ c \text{は定数}) \]
で与えられるとすると，$C$は点$\mathrm{Q}$を通るから$c=[サ]$である．また$C$は点$\mathrm{P}$を通るから$[シ]=0$であり，点$\mathrm{R}$を通るから$[ス]=0$である．これより，$a=[セ]$，$b=[ソ]$となる．
この$2$次曲線$C$の頂点の座標は$\displaystyle \left( [タ],\ [チ] \right)$である．また，第$1$象限において$C$と$x$軸と$y$軸が囲む面積$S$は，
\[ S=\int_{[テ]}^{[ツ]} (ax^2+bx+c) \, dx \]
で与えられるから，$S=[ト]$となる．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き，この曲線の第1象限内の部分を$C_1$，第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ．$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き，$C_2$との接点をQ$_1$とする．次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き，$C_1$との接点をP$_2$とする．次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き，接点をQ$_2$とする．以下同様に続けて，C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Q$_1$の座標を求めよ．
(2)三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ．
(3)三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ．
(4)級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ．

原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．

原点をOとする座標平面上，長方形ABCDが図のように頂点Aは$y$軸の正の部分に，頂点Bは$x$軸の正の部分に，頂点C，Dは第1象限内におかれている．$\text{AB}=2,\ \text{BC}=1$とし$\angle \text{OAB}=t$とおく．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)長方形ABCDの周で$y \leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．
(2)$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t,\ \sin t$の値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．