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兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2015年 第1問
次の問に答えなさい.

(1)$2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$,$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい.
(2)ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった.このとき,もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい.
\begin{jituwaku}
$\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により,$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る.これは,$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから,$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる.よって,$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる.
\end{jituwaku}
(3)$2$次方程式$x^2+px+q=0$において,$p,\ q$は有理数とする.$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき,もう一方の解$\beta$を求めなさい.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2014年 第2問
ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は,$2$階微分可能で,第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で,更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する.以下の問いに答えよ.

(1)$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して
\[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \]
を示せ.
(2)$x_1,\ x_2$を$D$の実数とする.$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して
\[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \]
を示せ.
(3)$x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする.$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$,$\alpha_2$,$\alpha_3$に対して
\[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \]
を示せ.
(4)$D=(0,\ \infty)$とする.上の議論を用いて,$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式
\[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \]
を示せ.
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