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国立 岩手大学 2016年 第5問放物線$y=x^2$と円$\displaystyle x^2+(y-3)^2=\frac{r^2}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$r$は正の定数である．
(1)$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．
(1)$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．
私立 東北学院大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=x^2-6x+\int_0^x (t^2-6t+9) \, dt$の増減を調べ極値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．
(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数
(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数
国立 九州工業大学 2015年 第1問関数$f(x)=e^{-x}\cos \sqrt{3}x$について以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(3)部分積分を$2$回用いて$f(x)$の不定積分を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=e^{-x}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(3)部分積分を$2$回用いて$f(x)$の不定積分を求めよ．
(4)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2 \sqrt{3}}{3}\pi$の範囲で$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=e^{-x}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 電気通信大学 2015年 第3問次の関数$f(x),\ g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問$x>0$で定義された曲線$y=\log x$を$C$とする．以下の問いに答えよ．
ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x \log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．
(1)点$(a,\ 0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．
(2)$C$の法線で点$(a,\ 0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．
(3)原点$(0,\ 0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x \log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．
(1)点$(a,\ 0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．
(2)$C$の法線で点$(a,\ 0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．
(3)原点$(0,\ 0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第5問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
公立 広島市立大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．