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秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第2問
$a$は実数とする.座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$,$\mathrm{B}(2a,\ 3)$,$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある.次の問いに答えよ.

(1)$a=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で,大きさが$1$のベクトルを求めよ.
(2)$a=0$のとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ.
秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第2問
$a$は実数とする.座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$,$\mathrm{B}(2a,\ 3)$,$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある.次の問いに答えよ.

(1)$a=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で,大きさが$1$のベクトルを求めよ.
(2)$a=0$のとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第1問
$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$,点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある.点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き,軌跡$C$をえがく.以下の問いに答えよ.

(1)軌跡$C$の方程式を求め,点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ.

(2)軌跡$C$の方程式について,導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ.



$a$を実数とする.曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について,以下の問いに答えよ.


\mon[$(3)$] $a=4$のとき,共有点の個数を求めよ.
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ.
秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第3問
$a$は実数とする.座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$,$\mathrm{B}(2a,\ 3)$,$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある.次の問いに答えよ.

(1)$a=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で,大きさが$1$のベクトルを求めよ.
(2)$a=0$のとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ.
秋田大学 国立 秋田大学 2016年 第2問
$a$は実数とする.座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$,$\mathrm{B}(2a,\ 3)$,$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある.次の問いに答えよ.

(1)$a=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で,大きさが$1$のベクトルを求めよ.
(2)$a=0$のとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2016年 第3問
関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し,曲線$y=f(x)$を$C$とする.

(1)$f(x)$の増減を調べよ.ただし,$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない.
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分,直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする.$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第4問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第3問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$a=2$のとき$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第5問
$f(x)=xe^{-x}$とし,関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする.また,$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする.ただし,$a$は$a>1$を満たす実数である.

(1)関数$y=f(x)$の増減,極値を調べ$C_1$の概形をかけ.なお,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい.
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ.
(3)原点を$\mathrm{O}$とし,$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする.$C_1$,$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$S$に対して,$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ.
長崎大学 国立 長崎大学 2016年 第4問
区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$,$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える.曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする.以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の増減を調べ,その最大値と最小値を求めよ.
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ.
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において,$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ.また,$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ.
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
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