$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人が$1$個のボールをパスし続ける．最初に$\mathrm{A}$がボールを持っていて，$\mathrm{A}$は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．$n$回パスしたとき，$\mathrm{B}$がボールを持っている確率を$p_n$とする．ここで，たとえば，$\mathrm{A} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A} \to \mathrm{E}$の順にボールをパスすれば，$4$回パスしたと考える．次の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求めよ．

当たりくじが$a$本，はずれくじが$b$本，合計$n=a+b$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつ引くとき，次の確率を求めよ．ただし，$a \geqq 2$，$b \geqq 2$で，引いたくじはもとに戻さないとする．

(1)$3$人の中の誰かが当たる確率
(2)$3$人の中の$1$人だけが当たる確率
(3)$\mathrm{C}$が当たる確率