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一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第5問
次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である.このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ.
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である.次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである.

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について,$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$,$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ.
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ.
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった.このとき,$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2015年 第5問
次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.

\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める.$n$を正の整数とする.

\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ.
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ.

\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする.次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする.
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$,科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする.$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ.
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を,四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$,科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき,$a,\ b,\ c$の組を求めよ.
東邦大学 私立 東邦大学 2015年 第10問
次のデータは,ある高校$3$年生$9$人の$100$点満点の試験の結果である.
\[ 65,\ 83,\ 64,\ 69,\ 89,\ 68,\ 77,\ 70,\ 81 \]
データを順に,$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots,\ x_9$と表す.このとき,$\displaystyle \sum_{i=1}^9 (x_i-\theta)^2$を最小にする$\theta$の値は$[スセ]$である.また,$\displaystyle \sum_{i=1}^9 |x_i-\theta|$を最小にする$\theta$の値は$[ソタ]$である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第8問
次の各問いに答えよ.

(1)数字$1$が書かれた玉$a$個($a \geqq 1$)と,数字$2$が書かれた玉$1$個がある.これら$a+1$個の玉を母集団として,玉に書かれている数字を変量とする.このとき,この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し,その玉の数字を取り出した順に$X_1$,$X_2$,$X_3$とする.標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき,$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ.ただし,復元抽出とは,母集団の中から標本を抽出するのに,毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である.
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった.試験の結果は$500$点満点の試験に対し,平均点$245$点,標準偏差$50$点であった.得点の分布が正規分布であるとみなされるとき,合格最低点はおよそ何点であるか.小数点以下を切り上げて答えよ.ただし,確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき,$P(Z>0.25)=0.4$,$P(Z>0.5)=0.3$,$P(Z>0.54)=0.2$とする.
北星学園大学 私立 北星学園大学 2013年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人がいる.各人がある試験に合格する確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{4},\ \frac{4}{5},\ \frac{1}{2}$であるという.以下の問に答えよ.

(1)$3$人とも試験に合格する確率を求めよ.
(2)少なくとも$2$人が試験に合格する確率を求めよ.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2011年 第5問
全生徒に対し,英語と数学の試験を実施した.英語の試験で80点以上の生徒の集合をA,数学の試験で80点以上の生徒の集合をBとするとき,次の集合を,記号を用いて表しなさい.

(1)英語または数学が80点未満の生徒の集合
(2)英語と数学が共に80点未満の生徒の集合
(3)英語が80点以上であって数学が80点未満の生徒の集合
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2010年 第3問
次の[ ]の中を適当に補いなさい.

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$.
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果,平均点が75点,最高点が95点,最低点が25点であった.平均点以上の学生数を$M$とし,$M$の最小値を求めると[ ].ただし,点数は全て自然数とする.
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに,直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき,その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする.このとき,$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$.
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