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国立 山形大学 2013年 第3問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第4問行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．
(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．
(1)$p,\ q$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1 & 2n \\
0 & 1
\end{array} \right)$を示せ．
(3)$\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc}
1+2n & -2n \\
2n & 1-2n
\end{array} \right)$を示せ．
(4)行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第4問自然数$n$に対し，座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする．また，$r$を正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
(1)$1$次変換$f$は，すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする．$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)$1$次変換$g$は，点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に，点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする．$g$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$C=ABA^{-1}$とする．行列$C^n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする．$r<1$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第1問面積が$1$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$があり，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$がある．正の実数$x,\ y,\ z,\ w$を$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=x:y$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=y:z$，$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=z:w$となるように定める．線分$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{G}$で交わるとき，次の問に答えよ．
(1)三角形の面積の比を用いて，$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ．
(1)三角形の面積の比を用いて，$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは，点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ．
国立 山形大学 2013年 第2問公差が$0$でない等差数列$\{a_n\}$において，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，${a_5}^2+{a_6}^2={a_7}^2+{a_8}^2$，$S_{13}=13$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
(1)$a_5+a_8=a_6+a_7$であることを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$S_n$を求めよ．
(4)$m$を自然数とする．$\displaystyle \frac{a_ma_{m+1}}{a_{m+2}}$の値が数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての$m$を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{72_2151_2013_1}{60}
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{72_2151_2013_1}{60}
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2013年 第3問正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，時刻$0$では頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとに，今いる頂点から他の$3$頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．$n$を$0$以上の整数とし，点$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率を，それぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n,\ s_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)$n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．
(3)$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4)$p_n$の一般項を求めよ．
(1)$n \geqq 1$に対し$q_n=r_n=s_n$となることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)$n \geqq 1$に対し$p_n,\ q_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1}$で表せ．ただし，$p_0=1,\ q_0=0$とする．
(3)$c_n=p_n-q_n$とおいて$c_n$の一般項を求めよ．
(4)$p_n$の一般項を求めよ．
国立 三重大学 2013年 第4問$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．