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国立 電気通信大学 2013年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対して，
\[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3)$t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4)$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)$\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．
(1)自然数$n$に対して，
\[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3)$t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4)$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)$\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2013年 第5問三角形の$3$辺の垂直二等分線は$1$点で交わることを証明せよ．
国立 和歌山大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．
(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．
国立 和歌山大学 2013年 第3問$a$を正の定数とする．次の方程式で表される円$C_1$と放物線$C_2$がある．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．
\[ C_1:(x-2a)^2+y^2=a^2,\quad C_2:y=\frac{2}{5a^2}x^2+1 \]
$C_1$の中心を$\mathrm{P}$，$C_2$の頂点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2=a^2-1$を満たす点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_3$を表す方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$が共有点をもつとき，$C_2$と$C_3$は共有点をもたないことを示せ．
国立 電気通信大学 2013年 第4問座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を，それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{178_2358_2013_1}{50}
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{178_2358_2013_1}{50}
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
国立 和歌山大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．
(1)次の式が成り立つことを示せ．
\[ \sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \sin \beta \]
(2)自然数$n$に対して，
\[ 2 \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta \sin \theta=\sin (2n+1)\theta-\sin \theta \]
が成り立つことを示せ．
(3)自然数$n$に対して，
\[ \tan \frac{\pi}{4n}=\frac{1}{1+2 \sum_{k=1}^n \cos \displaystyle\frac{k\pi}{2n}} \]
が成り立つことを示せ．
国立 滋賀医科大学 2013年 第1問正の整数$n,\ p,\ q$について，等式
\[ (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n-1}=a_n \sqrt{p}+b_n \sqrt{q} \]
を考える．
(1)ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ．
(2)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ．
(3)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ．
\[ (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n-1}=a_n \sqrt{p}+b_n \sqrt{q} \]
を考える．
(1)ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ．
(2)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ．
(3)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2013年 第2問平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．
(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．
国立 滋賀大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 宇都宮大学 2013年 第6問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限の部分を$C$とする．曲線$y=f(x) \ (0<x<1)$は第$4$象限にあり，かつすべての$x_1 \ (0<x_1<1)$について，点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$C$上の点$(x_1,\ y_1)$における$C$の接線と直交しているとする．曲線$y=f(x)$上の動点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは常に$1$であることを示せ．
(3)$x$軸上と$y$軸上に$2$辺をもち，線分$\mathrm{OP}$を対角線とする長方形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が$S$を最大にする位置にあるとき，$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}$における曲線の接線と座標軸が交わってできる$2$点の中点であることを示せ．
(4)$f(x)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)=0$であるとする．