次の問いに答えよ．

(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-6x+3$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作り，$y$が極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$の座標を求め，$\mathrm{C}$が$y=f(x)$のグラフの上にあることを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$に関して点対称であることを示せ．
(4)$(2)$で求めた点$\mathrm{C}$を通り傾きが$2$の直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

初項から第$n$項までの和が$S_n=2n^2-n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．また，$a_n$は等差数列になることを示し，初項$a$と公差$d$を求めよ．
(2)和$a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{2n}$を求めよ．
(3)和$(-1)a_1+(-1)^2a_2+(-1)^3a_3+\cdots +(-1)^{2n}a_{2n}$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}S_i \leqq -5$が，すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して成り立つことを示せ．

$\log_{10}3=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$3^{20}>10^9,\ 3^{25}<10^{12}$を示せ．
(2)$0.45<a<0.48$を示せ．
(3)$6.54<15a-a^2<6.97$を示せ．
(4)次の$2$つの不等式をともにみたす実数の組$(x,\ y)$は存在しないことを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2-2(1+a)x+y^2-4(2-a)y+a^2-2a+8 \leqq 0 \\
x^2-6(2+a)x+y^2-2(3-a)y+9a^2+38a+29 \leqq 0
\end{array} \right. \]

曲線$\displaystyle C:y=\frac{\log x}{x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$C$の変曲点$\mathrm{P}$における，$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\ell$と$C$は，$\mathrm{P}$以外に共有点をもたないことを示せ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

さいころを$4$回振って出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とし，
\[ N=1000a+100b+10c+d,\quad M=1000d+100c+10b+a \]
と定める．このとき，次の問に答えよ．ただし，$n$の倍数は，$0,\ \pm n,\ \pm 2n,\ \cdots$であるとする．

(1)$N-M$は$9$の倍数であることを示せ．
(2)$N-M$が$18$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$N-M$が$37$の倍数となる確率を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$x,\ y,\ z,\ p$は自然数で
\[ xy+yz+zx=pxyz,\quad x \leqq y \leqq z \cdots\cdots① \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$p \leqq 3$を示せ．
(2)$①$を満たす自然数の組$(p,\ x,\ y,\ z)$をすべて求めよ．