「証明」について
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国立 岩手大学 2013年 第2問座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -3,\ 0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,\ 4,\ 5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第3問空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2013年 第4問$x>0$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(1)不等式$2 \sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{1-\log x}{x^2}$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
国立 秋田大学 2013年 第2問$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$はすべて正の実数である．次の問いに答えよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
(1)不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを証明せよ．
(2)(1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ．
(3)$a^2+b^2+c^2=25$，$x^2+y^2+z^2=36$，$ax+by+cz=30$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{x+y+z}$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第1問関数$f_n(x) \ (x \geqq 0)$を
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．
国立 秋田大学 2013年 第2問$k$を整数とし，$0 \leqq x \leqq \pi$において，
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．
\[ f(x)=e^x \sin \left\{ (4k+1)x \right\},\quad g(x)=e^x \sin x \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k=2$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$k=-1$のとき，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数$k$に対して，$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．
国立 宮城教育大学 2013年 第3問空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{O}$があり，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DO}}| \]
を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)空間内の点$\mathrm{P}$について，$l,\ m,\ n$を実数とし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=l \overrightarrow{b}+m \overrightarrow{c}+n \overrightarrow{d} \]
とする．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$をそれぞれ$l,\ m,\ n$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2$であるための必要十分条件を$l,\ m,\ n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})$であることを示せ．
(3)線分$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る平面と直線$\mathrm{EO}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．
国立 福島大学 2013年 第4問$n$を自然数とし，$a_n,\ b_n$を次のようにおく．
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
\[ a_n=-\int_0^\pi (e^x+e^{-x}) \sin 2nx \, dx,\quad b_n=\int_0^\pi (e^x-e^{-x}) \cos 2nx \, dx \]
以下の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{4x^2-1} \, dx$を計算せよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(4n^2+1)b_n}{4n^2-1}>\frac{e^\pi-e^{-\pi}-2}{4} \log \frac{(2n+1)^2}{(2n-1)(2n+3)} \]
国立 徳島大学 2013年 第3問実数$a,\ b$は$ab+\sqrt{(2-a^2)(2-b^2)}=0$を満たす．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
\sqrt{2-a^2} & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) ,\quad B=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{2-a^2} \\
b & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) \]
とする．
(1)$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$2 \times 1$行列$X=\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$に対して，$|X|=\sqrt{s^2+t^2}$と定める．$P=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して，$|BP|=\sqrt{2} |P|$が成り立つことを示せ．
(3)$AB$を求めよ．
(4)$E$を$2$次の単位行列とする．$5(A^{-1}+B^{-1})=E$が成り立つとき，$A$を求めよ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
\sqrt{2-a^2} & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) ,\quad B=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{2-a^2} \\
b & \sqrt{2-b^2}
\end{array} \right) \]
とする．
(1)$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$2 \times 1$行列$X=\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$に対して，$|X|=\sqrt{s^2+t^2}$と定める．$P=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して，$|BP|=\sqrt{2} |P|$が成り立つことを示せ．
(3)$AB$を求めよ．
(4)$E$を$2$次の単位行列とする．$5(A^{-1}+B^{-1})=E$が成り立つとき，$A$を求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．