$s,\ t,\ u$を正の実数とする．点$\mathrm{O}$を内部に含む$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．直線$\mathrm{CO}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積を$S_A$，$\triangle \mathrm{CAO}$の面積を$S_B$，$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_C$とする．

(1)面積の比$S_A:S_B$は，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$に等しいことを示せ．
(2)比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)比$S_A:S_B:S_C$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．

関数$f(x)$を次のとおりに定める．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x^2}} & (|x|<1 \text{のとき}) \\
0 & (|x| \geqq 1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -1+0}f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle K=\int_{-1}^1 f(t) \, dt$，$\displaystyle F(x)=\frac{1}{K} \int_{-1}^x f(t) \, dt$とする．このとき，$F(0)$を求めよ．
(3)関数$y=F(x)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数$y=F(x)-F(0)$が奇関数であることを示せ．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 F(x) \, dx$を求めよ．

任意の$2$次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対し，$D(M)=ps+3qr$，$T(M)=p+s$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
d & b \\
c & a
\end{array} \right)$とし，$D(AB)=D(A)D(B)$が成り立つものとする．

(1)$bc=0$が成り立つか，または$A$の逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数$n$に対し，$T(A^n)$を求めよ．

$5^{2n-1}+7^{2n-1}+(23)^{2n-1}$がすべての正の整数$n$について$35$で割り切れることを証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3)$a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \]
は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

関数$\displaystyle f(x)=\log x+\frac{1}{x}$と曲線$C:y=f(x) \ (x>0)$について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0$を用いてもよい．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
以下$a$は$1$より大きい実数とし，点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする．
(3)接線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$a \neq 2$のとき，曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点（接点と交点）をもつことを示せ．
(4)$a=2$とする．曲線$C$，接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2)$D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3)$X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$\displaystyle e^{2x}>\frac{x^2}{2}$となることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \right)$（$p$は実数）について，$A^4=E$かつ$A^2 \neq E$のとき，$p$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)関数$f(x)=ax^r+b \ (x>0)$において，$f(2)=27$，$f(4)=87$，$f(8)=387$を満たすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に直交する直線上に$\mathrm{OA}=\mathrm{AC}$となる点$\mathrm{C}$をとる．$\angle \mathrm{COB}=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とし，$0<\alpha<1$，$0<\beta<1$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．