$n$を自然数とする．$\alpha$を実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha+1 & 1 \\
-1 & \alpha-1
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(A-\alpha E)^2=O$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次単位行列，$O$は$2$次零行列とする．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)連立$1$次方程式$A^n \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の解$x,\ y$をすべて求めよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

$f(x)=(1-x)^3$とし，曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線の方程式を$y=p(x)$，点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を$y=q_t(x)$とする．さらに，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\int_0^t p(x) \, dx+\int_t^1 q_t(x) \, dx \]
と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$F(t)$を求めよ．
(2)$F^\prime(0)$，$F^\prime(1)$の値を求めよ．
(3)$F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ．

定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k,\ x$について
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2)$x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3)$g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4)$f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5)$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．

直線$y=ax (a>0)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とし，曲線$y=x+\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と$x$軸，および直線$x=2\pi$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$W$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$0<x \leqq 2\pi$において，$x+\sin x>0$であることを示せ．
(3)$W$の値を求めよ．
(4)$V=W$のとき，$a$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4x^3}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>1$のとき，$f(x)>1$となることを示せ．
(2)$x>1$のとき，関数
\[ g(x)=\frac{f(x)-1}{x-1} \]
は増加関数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to 1+0}g(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)$の値を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$を漸化式
\[ x_1=2,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=1$を示せ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

$2$つの実数$a,\ b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている．このとき，$x$の$4$次方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \cdots\cdots (*)\]
を考える．

(1)$x \neq 0$とする．$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき，方程式$(*)$を$z$で表せ．
(2)(1)で求めた$z$の方程式の解は，すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ．
(3)複素数$\alpha=p+qi$（$p,\ q$は実数）に対し，$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする．ただし$i$は虚数単位を表す．このとき，$4$次方程式$(*)$の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて$1$であることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．

(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．

$3$個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．