1次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)実数$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ \tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha \]
の値は一定であることを示せ．
(3)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma \]
のとりうる値の範囲を求めよ．

2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

$f(x)=x \sin x$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$f^\prime(x)<\displaystyle\frac{5}{2}$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)式
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものをすべて求めよ．
(2)$r$を正の有理数とする．式
\[ r=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は$0$個とし，有限個であるとみなす．

線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$は次の条件を満たす．
\[ \mathrm{AC}^2=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CB} \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$とおく．自然数$n$について，
\[ \alpha^{n+1}=\alpha^n+\alpha^{n-1} \]
が成り立つことを証明せよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

実数$x,\ y,\ t$に対して，行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
-t-x & -x
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rr}
5 & 4 \\
-6 & -5
\end{array} \right) \]
を考える．$(AB)^2$が対角行列，すなわち$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列であるとする．

(1)命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする．ただし，$E$は単位行列を表す．
(2)$3x-3y-2t=0$を示せ．
(3)$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(4)$x,\ y,\ t$が整数のとき，行列$A$を求めよ．

$m,\ n$を自然数として，関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．

(i) $g(0)=g(1)=0$
(ii) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$

(4)$m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき
\[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \]
が成立することを示せ．