次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}

(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．

空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 0)$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を考える．$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$で，$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり，その$y$成分は正とする．また，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とおく．

(1)$|p|<1$であることを示せ．また，$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け．
(2)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異であり，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=p \]
をみたすとする．$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき，$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け．
(3)上の条件に加えて$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ．

$x>0$とし，$f(x)=\log x^{100}$とおく．

(1)次の不等式を証明せよ．
\[ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} \]
(2)実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を$[a]$で表す．整数$[f(1)]$，$[f(2)]$，$[f(3)]$，$\cdots$，$[f(1000)]$のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならば$\log 10=2.3026$として計算せよ．

三角関数の極限に関する公式
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
を示すことにより，$\sin x$の導関数が$\cos x$であることを証明せよ．

$4$個の整数
\[ n+1,\quad n^3+3,\quad n^5+5,\quad n^7+7 \]
がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない．これを証明せよ．

$xy$平面において，点$(x_0,\ y_0)$と直線$ax+by+c=0$の距離は
\[ \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
である．これを証明せよ．

$n$を3以上の整数とする．$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある．以下のように，$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に，球を箱に1つずつ入れていく． \\
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．

(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

等式
\[ |x-3|+|y|=2(|x+3|+|y|) \]
を満たす$xy$平面上の点$(x,\ y)$からなる図形を$T$とする．

(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．