$n$を自然数とし，整式$x^n$を整式$x^2-2x-1$で割った余りを$ax+b$とする．このとき$a$と$b$は整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．

(1)整数列$\{\alpha_n\},\ \{\beta_n\}$を次で定める．
\[ (5+2 \sqrt{6})^n=\alpha_n+\sqrt{6}\beta_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) 数列$\gamma_n=\alpha_n-\sqrt{6}\beta_n$は等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii) 一般項$\alpha_n,\ \beta_n$を求めよ．

(2)整数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$を次で定める．
\[ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{2}b_n+\sqrt{3}c_n+\sqrt{6}d_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3$をそれぞれ求めよ．
(ii) 一般項$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を先の$\alpha_n,\ \beta_n$を用いて表せ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$\displaystyle \cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$の最大値を求めよ．ただし$\pi>3.1$および$\sqrt{3}>1.7$が成り立つことは証明なしに用いてよい．

$n$と$k$を自然数とし，整式$x^n$を整式$(x-k)(x-k-1)$で割った余りを$ax+b$とする．

(1)$a$と$b$は整式であることを示せ．
(2)$a$と$b$をともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=A$を満たす．行列$B$は
\[ B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right),\quad B^2 \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$a+d,\ ad-bc$を求めよ．
(2)$B$を$a$を用いて表せ．
(3)$c=1$のとき，実数$s,\ t$に対して
\[ (sA+tB)^n=x_nA+y_nB \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表されることを示し，$x_n,\ y_n$を$s,\ t,\ n$を用いて表せ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)一般項$b_n$を求めよ．
(2)すべての$n$について，$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

2次の正方行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} & -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{array} \right)$で定める．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を関係式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$x_0=1,\ y_0=0$とする．

(1)$A^4$を求めよ．
(2)$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1} \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}_n$までの距離$\mathrm{OP}_n$が最大となる$n$を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

実数$t$が$0 \leqq t<8$をみたすとき，点$\mathrm{P}(t,\ t^3-8t^2+15t-56)$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$に$2$本の異なる接線が引けることを示せ．
(2)$(1)$での$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$と放物線$y=x^2$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．