実数$x$に対して，$x$以下で最大の整数を$x$の整数部分といい，$[x]$で表す．自然数$n$に対して，数列$\{a_n\}$を$a_n=[n\pi]$と定め，また数列$\{b_n\}$を，$b_1=b_2=b_3=0$，$n \geqq 4$のときは
\[ a_k<n \leqq a_{k+1} \quad \text{となる} n \text{に対して，} \quad b_n=k \]
と定める．ただし，$\pi$は円周率を表す．

(1)$b_4,\ b_5,\ b_7,\ b_{10}$を求めよ．
(2)自然数$p,\ q$に対して，$a_p<q$ならば$p\pi<q$であることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表せ．このとき，必要なら上記の整数部分を表す記号を用いてよい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$n$を正の整数，$A^1=A$とする．

(1)等式$A(A-E)=A-E$が成り立つことを示せ．
(2)$A^{n+1}-A^n$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1)$\theta$の値を答えなさい．
(2)$\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3)$(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2)$P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3)$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4)$A^n=\alpha^n P+\beta^n Q (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

一般項が$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問に答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_n<\frac{1}{10}$となる$n$の最小値を求めなさい．

$n,\ m$を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$n^2$を$5$で割った余りは$0,\ 1$または$4$であることを証明せよ．
(2)$n$を$5$で割った余りが$4$のとき，$n^2+n$は$5$の倍数であることを証明せよ．
(3)$m>1$のとき，$m^3-m$が$6$の倍数であることを証明せよ．

互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．

$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$を，$x_1=1$，$y_1=0$，かつ，各自然数$n$に対して，
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める．次の問に答えなさい．

(1)各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．
(2)各自然数$n$に対して，$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい．
(3)各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる．このとき，$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．
(4)一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい．