$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$A$とする．

$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \]
を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \]
を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2)$n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3)要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，
\[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \]
を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{3} & 7 \\
0 & 3
\end{array} \right)$に対し，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
5
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$b_{n+1}=b_1a_n+d_1b_n,\ b_{n+1}=a_1b_n+b_1d_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{\sqrt{{p_n}^2+{q_n}^2}}$の値を求めよ．

$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．

平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に，$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$，$\mathrm{ACDE}$をつくる．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする．線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=t$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数とする．$3$つの$2$次方程式

$x^2+ax+b=0 \cdots\cdots①$
$x^2+px+q=0 \cdots\cdots②$
$2x^2+(a+p)x+b+q=0 \cdots\cdots③$

について，次を証明せよ．

(1)$①$，$②$，$③$がすべて重解をもてば，$a=p$かつ$b=q$である．
(2)$①$，$②$がともに虚数解をもてば，$③$も虚数解をもつ．

$f(x)=ax^2+bx$は，$x=1,\ -1$で整数値をとり，$f(1)=r$，$f(-1)=s$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$r,\ s$の式で表わせ．
(2)整数$n$に対して，$f(n)$を$n,\ r,\ s$の式で表わせ．
(3)$n$が整数のとき，$f(n)$は常に整数になることを示せ．

$m,\ n$を自然数とする．命題「$m^2+n^2$が奇数$\Longrightarrow$積$mn$は偶数」について，次の問いに答えよ．

(1)この命題の対偶を書け．
(2)$(1)$の対偶を証明することにより，上の命題を証明せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線を$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$とする．

(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．

$m$を自然数とするとき，以下を証明せよ．

(1)$m^3-m$はつねに$6$で割り切れる．
(2)$m^3-m$が$4$で割り切れるための必要十分条件は，$m$を$4$で割った余りが$2$でないことである．

座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-5,\ -4,\ 3)$を通る直線を$\ell$とおく．以下の設問に答えよ．

(1)$\ell$は点$\mathrm{C}(-2,\ -3,\ 1)$を通ることを示せ．
(2)$\mathrm{O}$を原点として$\mathrm{C}$とは異なる$\ell$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$をみたすとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．