$x,\ y$を自然数，$p$を$3$以上の素数とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$(1)$，$(3)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)$x^2-y^2=p$が成り立つとき，$x,\ y$を$p$で表せ．
(2)$x^3-y^3=p$が成り立つとき，$p$を$6$で割った余りが$1$となることを証明せよ．
(3)$x^3-y^3=p$が自然数の解の組$(x,\ y)$をもつような$p$を，小さい数から順に$p_1$，$p_2$，$p_3$，$\cdots$とするとき，$p_5$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2)$2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．

(i) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ii) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(iii) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$について，次の問に答えよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，

$(*)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2)関数$f(x)$が$(*)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して，
\[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \]
が成立することを示せ．

放物線$C_1:y=x^2$と放物線$C_2:y=-(x-a)^2+b$が点$\mathrm{P}(t,\ t^2) (t>0)$において接している．

(1)$a$と$b$を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C_2$と$x$軸との交点のうち，$x$座標の小さい点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$と$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$は$t$に無関係な値であることを示せ．

$3$次関数$f(x)=x^3-ax-b$について，次の問に答えよ．

(1)$a>0$であるとき，$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を示せ．

(i) $27b^2-4a^3>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．
(ii) $27b^2-4a^3=0$かつ$a>0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
(iii) $27b^2-4a^3<0$のとき，$3$次方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつ．

$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$a_n=5^n \sin n\theta$とおく（$n=1,\ 2,\ \cdots$）．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．

$a$は$1$より大きい実数とする．

(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}<\int_1^a \frac{dx}{x}<\sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}=\int_1^a \frac{dx}{x}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に

放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$

がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．

下の図において，点$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の外心である．点$\mathrm{D}$は$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{BC}$との交点，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{AB}$との交点である．また，点$\mathrm{F}$は$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$を通る円$\mathrm{O}_2$と，辺$\mathrm{AC}$の延長との交点である．次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．